O objetivo básico deste texto é servir de interface entre a Matemática ensinada nos cursos de licenciatura e a dos cursos de bacharelado e de pós-graduação. Há também a preocupação de mostrar as interconexões entre a Matemática e a Física, pois esta representa suas interpretações do nosso Universo por meio do formalismo matemático. Uma preocupação do texto é aproximar a Matemática da Física de maneira suave. Por isso, o uso da simbologia utilizada nas disciplinas de cálculo, álgebra e da geometria ministradas na licenciatura, e não as da Física. Por outro lado, procurou-se mostrar a geometria diferencial como uma disciplina que permite integrar as várias representações da Matemática quer sejam geométricas, algébricas, quer sejam funcionais.