O presente livro é uma nova edição completamente reelaborada de um texto de mesmo título que escrevemos em 1961 para o Terceiro Colóquio Brasileiro de Matemática, e que foi publicado na coleção " Textos de Matemática" do Instituto de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco. O espírito daquele texto era dar ênfase às aplicações da Topologia Geral à Análise Matemática, combatendo a tendência de se darem cursos em que o estudante, muitas vezes, aprende uma linguagem sem ver qualquer aplicação a ramos da matemática que lhe sejam familiares. A presente edição mantém o mesmo espírito da primeira.